Fractales ne l'infini dans le fini?
En regardant la figure ci-dessus, une fractale, nous ne
pouvons pas localiser immédiatement quelque chose dans la nature, pourquoi
avons-nous pas de véritables références. Le premier défi est de définir la
fractale, une entité créée à partir d'algorithmes mathématiques, l'utilisation
des ordinateurs pour des milliers de calculs nécessaires.
Parfois, nous pouvons trouver la correspondance entre la
nature et la fractale, il est parfois impossible. Quelle est la définition d'une fractale?
Nous pouvons utiliser
des définitions vagues ou cryptiques comme:
• Une fractale est une auto-similaire ou
auto-similaire figure,
•
contenant des copies de lui-même,
•
généré de manière récursive,
• avoir
une structure claire arbitrairement petites échelles,
• est tellement
irrégulière qu'il est difficile de décrire en termes de langage de la géométrie
euclidienne,
• il a
une dimension qui ne sont pas ensemble et augmente sa dimension topologique
(dimension topologique est l'espace nécessaire pour attirer l'fractale)
• a une définition simple et récursive.
Gonze (2010) indique qu'une fractale est généralement
"une forme brute ou fragmenté géométrique qui peut être subdivisé en
plusieurs parties, dont chacune est (au moins approximativement) une copie de
taille réduite tout" (B. Mandelbrot). Cette propriété est appelée
auto-similarité. Le terme a été inventé par Benoît Mandelbrot en 1975 et
provient de la fractus latine signifiant "cassé" ou
"fracturé".
Pour Liebovitch et
Shehadeh (2005: 179-180) objets dans l'espace peuvent avoir des propriétés
fractales. La série de temps peut avoir des propriétés fractales. Les
séries de chiffres peuvent avoir des propriétés fractales. Une grande partie
des statistiques qui vous sont familiers montrent les propriétés
"linéaires" de données. Fractales peuvent aider à décrire certaines
propriétés de données "non-linéaires". La plupart des données est
caractérisée par la moyenne et l'écart type, et 45,3 ± 0,3; pour les données
qui sont fractale, la moyenne et les écarts-types sont dénués de sens. Cela
implique un changement significatif dans la manière la plus simple que nous
voyons et gérer les données.
Gonze (2010) affirme que, bien qu'ils semblent similaires à
tous les niveaux de grossissement, est souvent considéré que les fractales sont
infiniment complexes (en termes informels). Les objets naturels qui semblent
fractales à un degré comprennent nuages, les montagnes, la foudre, les côtes,
et des flocons de neige. Cependant, tous les objets auto-similaires sont des
fractales - par exemple, la ligne réelle (une ligne de droite euclidienne) est
formellement auto-similaire, mais ne pas avoir d'autres caractéristiques
fractales (Gonze, 2010: 8).
Huang Cheng (s / f: 3)
indique qu'une fractale est un ensemble dont Hausdorff Besicovitch dimension
dépasse strictement la dimension topologique (ce qui est une définition très
abstraite). D'une manière générale, une fractale est définie comme étant une
forme géométrique rugueuse ou fragmentée qui peut être subdivisé en plusieurs
parties, dont chacune est (au moins approximativement) une copie de taille
réduite de l'ensemble. Fractales sont généralement auto-similaire et
indépendante de l'échelle.
Les propriétés des objets dans l'espace
Quand nous développons
un objet non-fractal, de nouveaux détails ne figurent pas. Mais quand nous
étendons un objet fractal nous continuons à voir des morceaux plus en plus
petits. Les petites pièces sont des copies des pièces plus grandes. Ils ne sont
pas des copies exactes plus petit, mais sont plus petits très similaire à la
plus grande des pièces répliques (Liebovitch 2005:P. 183).
Un objet fractal présente la plupart des pièces sont
approximativement de la même taille. Un objet fractal possède des pièces de
toutes tailles. La variation de la taille des morceaux d'objets fractals est
beaucoup plus grande que la variation de la taille des morceaux d'objets non
fractale. (Leibovich, 2005: 184-185)
Auto-similarité. Les petites pièces sont plus petits que les
gros morceaux copies. Échelle. Les valeurs mesurées dépendent de la résolution
utilisée pour effectuer la mesure. Statistiques. La taille «moyenne» dépend de
la résolution utilisée pour la mesure.
Un arbre est fractale. A quelques grosses branches,
certaines branches de taille moyenne, et de nombreuses petites branches. Un
arbre est auto-similaire, les petites branches sont plus petits que les plus
grosses branches copies. Il y a une échelle de longueur et l'épaisseur de
chaque branche dépend de ce que nous mesurons branche. Il y a une taille
moyenne d'une branche: Plus le nombre de petites branches qui comprennent, plus
le "moyen" longueur et l'épaisseur (Liebovitch, 2005: 187)
Le rayons du ciel sont fractaux. A quelques grosses
branches, certaines branches de taille moyenne, et de nombreuses petites
branches. Le diagramme de rayonnement est auto-similaire: petites branches sont
plus petits que les plus grosses branches copies. Il y a une longueur de
l'échelle de chaque faisceau de rayons dépend de ce que nous mesurons. Il est
d'une taille moyenne de la foudre: Plus le nombre de petits faisceaux qui
comprennent, plus la longueur et l'épaisseur "moyenne" (Leibovitch;
2005: 188)
Selon Gonze (2010) la géométrie fractale traditionnelle est
une invention moderne basée sur une dimension caractéristique ou une échelle,
il n'y a pas de description spécifique de la taille ou d'échelle pour mesurer.
En géométrie traditionnelle, une formule telle que x2 + y2 +
z2 = R2 décrit une sphère; fractales dans une formule
simple ou algorithme que Zn + 1 = Zn 2 + z0
décrit la fractale de Mandelbrot.
Un ensemble de Julia est une image type de miroir de
l'ensemble de Mandelbrot. Il est basé sur la même famille de base des fonctions
f (x) = x2 + c. Mais au lieu de c (comme dans l'ensemble de
Mandelbrot) variant, il reste fixe et varie x c. L'ensemble de Julia c est
l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles l'itération de f (x) ne divergent
pas. Il existe un nombre infini de ensembles de Julia - un pour chaque valeur
possible de c.
Dans le prochain épisode, nous allons montrer les propriétés
et les algorithmes ensembles de Mandelbrot, Julia et les autres dans le détail.
Références
Liebovitch, Larry S.; Shehadeh
Lina A. (2005) Introduction to Fractals, Chapter 5
Center for Complex
Systems and Brain Sciences, Center for Molecular Biology and Biotechnology,
& Departments of Psychology and Biomedical Sciences Florida Atlantic
University
Gonze Didier (2010) Fractals:
theory and applications
Unité de Chronobiologie Théorique Service de Chimie Physique - CP 231
Université Libre de Bruxelles Belgium
Chen Ting (Matric No.
U017596H) Huang Liming (S/F)World of fractalas
Caballero Roldan, Rafael (s/f) Caos y fractales
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