Fractales ¿el infinito
dentro de lo finito?
Al observar la figura anterior,
un fractal, no podemos ubicar inmediatamente algo dela naturaleza pues aunque
lo parezca, no tenemos referencias reales. El primer desafío es definir al fractal, una entidad creada a partir
de algoritmos matemáticas, usando computadoras para los miles de cálculos necesarios.
A veces podemos encontrar correspondencia entre la naturaleza y el
fractal, a veces es imposible. ¿Cuál es la definición de un fractal?
Podemos usar definiciones imprecisas o crípticas como:
·
Un fractal es una figura auto-semejante o auto
similar,
·
que contiene copias de sí misma,
·
generadas de forma recursiva,
·
que tiene una estructura nítida a escalas
arbitrariamente pequeñas,
· es tan irregular que es difícil describirla en términos
del lenguaje de la geometría euclidiana,
·
tiene una dimensión que no es entera y es la vez
mayor que su dimensión topológica (Dimensión
topológica es la requerida en el espacio
para dibujar el fractal),
·
tiene una definición recursiva y sencilla.
Gonze (2010) dice que un fractal es generalmente "una forma geométrica áspera o fragmentada que se puede subdividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia de tamaño reducido de la totalidad" (B. Mandelbrot). Esta propiedad se llama auto-similitud. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus que significa "roto" o "fracturado".
Para Liebovitch y Shehadeh
(2005: 179-180) los objetos en el espacio pueden tener propiedades fractales. Las
series de tiempo pueden tener propiedades fractales. Los conjuntos de números
pueden tener propiedades fractales. Gran parte de las estadísticas con las que
usted está familiarizado muestran las propiedades "lineales" de datos.
Los Fractales pueden ayudar a describir
algunas propiedades "no lineales" de datos. La mayoría de los datos
se caracterizan por la media y la desviación estándar, como 45,3 ± 0,3; para datos
que son fractales, la media y las desviaciones estándar no tienen sentido. Esto
implica un cambio significativo en la forma más sencilla como vemos y manejamos
los datos.
Gonze (2010) afirma que aunque parecen
similares en todos los niveles de ampliación, se considera a menudo que los
fractales son infinitamente complejos (en términos informales). Los objetos
naturales que hasta cierto grado parecen
fractales incluyen nubes, montañas, rayos, líneas de costa, y copos de
nieve. Sin embargo, no todos los objetos auto-similares son fractales - por
ejemplo, la recta real (una línea recta euclidiana) es formalmente
auto-similar, pero no tiene las demás características fractales (Gonze, 2010: 8).
Huang y Cheng (s / f: 3) señalan
que un fractal es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff Besicovitch excede
estrictamente la dimensión topológica (esta es una definición muy abstracta).
En general, un fractal se define como una forma geométrica áspera o fragmentada
que se puede subdividir en partes, cada una de las cuales es (al menos
aproximadamente) una copia de tamaño reducido de la totalidad. Los fractales
son generalmente auto-similar e independientes de la escala.
Propiedades de los objetos en el espacio
Cuando ampliamos un objeto no
fractal, no aparecen nuevos detalles. Pero, cuando ampliamos un objeto fractal seguimos viendo
trozos cada vez más pequeños. Las piezas más pequeñas son copias de las piezas
más grandes. Ellos no son copias exactas más pequeñas, pero son réplicas más
pequeñas muy similares a las piezas más grandes (Liebovitch., 2005: Pág. 183).
Un objeto fractal tiene la mayoría de las piezas que son
aproximadamente del mismo tamaño. Un objeto fractal tiene piezas de todos los
tamaños diferentes. La variación en el tamaño de las piezas de los objetos
fractales es mucho mayor que la variación en el tamaño de las piezas de los
objetos no fractales. (Leibovitch, 2005: 184-185)
Auto-similaridad. Las pequeñas
piezas son copias más pequeñas de las piezas más grandes. Escala. Los valores
medidos dependen de la resolución utilizada para hacer la medición.
Estadística. El tamaño "promedio" depende de la resolución que se
utiliza para hacer la medición.
Un árbol es fractal. Tiene unas
pocas ramas grandes, algunas ramas de tamaño medio, y muchas pequeñas ramas. Un
árbol es auto-similar, las pequeñas ramas son copias más pequeñas de las ramas
más grandes. Hay una escala: La longitud y el grosor de cada rama depende de
qué rama medimos. No hay un tamaño promedio de una rama: Cuanto mayor sea el
número de ramas más pequeñas que incluyen, menor es la longitud
"media" y el espesor (Liebovitch, 2005: 187)
El patrón de rayos en el cielo
es fractal. Tiene unas pocas ramas grandes, algunas ramas de tamaño medio, y
muchas pequeñas ramas. El patrón del rayo es auto-similar: Las pequeñas ramas
son copias más pequeñas de las ramas más grandes. Hay una escala: La longitud
de cada rayo depende de qué rayo medimos. No hay un tamaño promedio de un rayo:
Cuanto mayor sea el número de rayos más pequeñas que incluyen, menor es la
longitud "media" y espesor (Leibovitch; 2005: 188)
Según Gonze (2010) la geometría
fractal tradicional es una invención moderna basada en un tamaño característico
o escalar, no existe una descripción
específica de tamaño o escala a medida. En la geometría tradicional, una formula como x2
+ y2 + z2 = R2 describe una esfera; en los
fractales, una fórmula general sencillo o algoritmo como Zn + 1 = Zn 2 + z0 describe el
fractal de Mandelbrot.
Un conjunto de Julia es una
especie imagen especular del conjunto de Mandelbrot. SE basa en la misma
familia básica de las funciones: f (x) = x2 + c. Pero en lugar de
variar c (como en el conjunto de
Mandelbrot), se mantiene fijo c y variar x. El conjunto de Julia de c es el
conjunto de valores de x para los que la iteración de f(x) no diverge. Hay un número infinito de
conjuntos de Julia - una para cada posible valor de c.
En próximas entregas mostraremos
las propiedades y algoritmos delos conjuntos de Mandelbrot, Julia y otros, en
detalle.
Referencias
Liebovitch, Larry S.; Shehadeh
Lina A. (2005) Introduction to Fractals, Chapter 5
Center for Complex
Systems and Brain Sciences, Center for Molecular Biology and Biotechnology,
& Departments of Psychology and Biomedical Sciences Florida Atlantic
University
Gonze Didier (2010) Fractals:
theory and applications
Unité de Chronobiologie Théorique Service de Chimie Physique - CP 231
Université Libre de Bruxelles Belgium
Chen Ting (Matric No.
U017596H) Huang Liming (S/F)World of fractalas
Caballero Roldan, Rafael (s/f) Caos y fractales
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