I frattali fa l'infinito nel finito?
Guardando la figura sopra, un frattale, non siamo in grado
di individuare immediatamente qualcosa in natura, perché non abbiamo
riferimenti reali. La prima sfida è quella di definire il frattale, un'entità
creata da algoritmi matematici, utilizzando i computer per migliaia di calcoli
richiesti.
A volte possiamo trovare la corrispondenza tra la natura e
il frattale, a volte è impossibile. Qual è la definizione di un frattale?
Possiamo utilizzare le definizioni vaghe o criptici come:
• Un frattale è un self-simile o figura auto-simile,
• contenente copie di se stesso,
• generato in modo ricorsivo,
• avere una struttura chiara arbitrariamente piccole squame,
• è così irregolare che è difficile da descrivere in termini
di linguaggio della geometria euclidea,
• ha una dimensione che non è complesso e aumenta la sua
dimensione topologica (dimensione topologica è lo spazio necessario per
disegnare il frattale)
• ha una definizione semplice e ricorsivo.
Gonze (2010) stabilisce che un frattale è generalmente
"una forma grezza o frammentato geometrica che può essere suddiviso in più
parti, ciascuna delle quali è (almeno approssimativamente) una copia ridotta
dimensione all" (B. Mandelbrot). Questa proprietà viene chiamata
auto-similarità. Il termine è stato coniato da Benoît Mandelbrot nel 1975 e
deriva dal fractus latina che significa "rotto" o
"fratturato".
Per Liebovitch e
Shehadeh (2005: 179-180) gli oggetti nello spazio possono avere proprietà
frattali. La serie storica può avere proprietà frattali. Le serie di
numeri possono avere proprietà frattali. Gran parte delle statistiche con cui
si mostrano familiare le proprietà dei dati "lineari". I frattali possono aiutare a descrivere alcune
proprietà di dati "non lineari". La maggior parte dei dati è
caratterizzato dalla deviazione media e standard, e 45,3 ± 0,3; per i dati che
sono frattale, la media e la deviazione standard sono prive di significato.
Questo implica un cambiamento significativo nel modo più semplice che vediamo e
gestire i dati.
Gonze (2010) afferma che anche se sembrano simili a tutti i
livelli di ingrandimento, è spesso considerato che i frattali sono
infinitamente complesso (in termini informali). Gli oggetti naturali che
sembrano frattali in misura sono le nuvole, montagne, fulmini, coste, e fiocchi
di neve. Tuttavia, non tutti gli oggetti auto-similari sono frattali - per
esempio, la linea reale (una linea retta euclidea) è formalmente auto-simile,
ma non ha altre caratteristiche frattali (Gonze 2010: 8).
Huang e Cheng (s / f: 3) indicano che un frattale è un
insieme la cui dimensione di Hausdorff Besicovitch supera rigorosamente la
dimensione topologica (questa è una definizione molto astratta). In generale,
un frattale è definita come una forma geometrica ruvida o frammentato che può
essere suddiviso in più parti, ciascuna delle quali è (almeno
approssimativamente) una copia di dimensioni ridotte del tutto. I frattali sono
generalmente auto-simile e indipendente da scala.
Proprietà di oggetti nello spazio
Quando espandiamo un oggetto non-frattale, nuovi dettagli
non vengono visualizzati. Ma quando estendiamo un oggetto frattale continuiamo
a vedere pezzi sempre più piccoli. pezzi più piccoli sono copie dei pezzi più
grandi. Non sono più piccole copie esatte, ma sono più piccoli, molto simile a
pezzi più grandi repliche (Liebovitch 2005:.. P 183).
Un oggetto frattale ha maggior parte sono circa le stesse
dimensioni. Un oggetto frattale ha pezzi di tutte le dimensioni diverse. La
variazione delle dimensioni dei pezzi di oggetti frattali è molto maggiore
della variazione nelle dimensioni dei pezzi di oggetti non frattale.
(Leibovich, 2005: 184-185)
Auto-similarità. Piccole parti sono più piccoli dei pezzi
copie più grandi. Scale. I valori misurati dipendono dalla risoluzione
utilizzata per eseguire la misurazione. Statistiche. La dimensione
"media" dipende dalla risoluzione utilizzata per la misurazione.
Un albero è frattale. Ha un paio di grossi rami, alcuni rami
di medie dimensioni, e molti piccoli rami. Un albero è auto-simile, piccoli
rami sono più piccoli rispetto ai grandi rami copie. C'è una scala di lunghezza
e lo spessore di ciascun ramo dipende da ciò che si misura ramo. C'è una
dimensione media di un ramo: maggiore è il numero di rami più piccoli che
includono, minore è il "medium" lunghezza e spessore (Liebovitch,
2005: 187)
Il cielo modello ray è frattale. Ha un paio di grossi rami,
alcuni rami di medie dimensioni, e molti piccoli rami. Il modello del fascio è
auto-simile: piccoli rami sono più piccole delle più grandi rami copie. C'è una
lunghezza di scala di ogni fascio di raggi dipende da ciò che si misura. C'è
una dimensione media di fulmine: maggiore è il numero di raggi più piccoli che
includono, minore è la lunghezza e lo spessore "medium" (Leibovitch;
2005: 188)
Secondo Gonze (2010) tradizionale geometria frattale è
un'invenzione moderna basata su una dimensione caratteristica o scala, non
esiste una descrizione specifica di formato o di scala per misurare. In
geometria tradizionale, una formula come ad esempio x2 + y2
+ z2 = R2 descrive una sfera; frattali in una semplice
formula o algoritmo come Zn + 1 = Zn 2 + z0
descrive il frattale di Mandelbrot.
Un insieme di Julia è un'immagine speculare tipo
dell'insieme di Mandelbrot. Si basa sulla stessa famiglia di base di funzioni f
(x) = x2 + c. Ma invece di variare c (come nel set Mandelbrot),
rimane fisso e variano x c. L'insieme di Julia c è l'insieme dei valori di x
per cui l'iterazione di f (x) non divergono. Ci sono un numero infinito di insiemi
di Julia - una per ogni possibile valore di c.
Nella prossima puntata vi mostreremo le proprietà e gli
algoritmi Insieme di Mandelbrot, Julia e altri in dettaglio.
Riferimenti
Liebovitch, Larry S.; Shehadeh
Lina A. (2005) Introduction to Fractals, Chapter 5
Center for Complex
Systems and Brain Sciences, Center for Molecular Biology and Biotechnology,
& Departments of Psychology and Biomedical Sciences Florida Atlantic
University
Gonze Didier (2010) Fractals:
theory and applications
Unité de Chronobiologie Théorique Service de Chimie Physique - CP 231
Université Libre de Bruxelles Belgium
Chen Ting (Matric No.
U017596H) Huang Liming (S/F)World of fractalas
Caballero Roldan, Rafael (s/f) Caos y fractales
