Frattali, Infinity bellezza

I frattali fa l'infinito nel finito?

Guardando la figura sopra, un frattale, non siamo in grado di individuare immediatamente qualcosa in natura, perché non abbiamo riferimenti reali. La prima sfida è quella di definire il frattale, un'entità creata da algoritmi matematici, utilizzando i computer per migliaia di calcoli richiesti.

A volte possiamo trovare la corrispondenza tra la natura e il frattale, a volte è impossibile. Qual è la definizione di un frattale?

Possiamo utilizzare le definizioni vaghe o criptici come:

• Un frattale è un self-simile o figura auto-simile,

• contenente copie di se stesso,

• generato in modo ricorsivo,

• avere una struttura chiara arbitrariamente piccole squame,

• è così irregolare che è difficile da descrivere in termini di linguaggio della geometria euclidea,

• ha una dimensione che non è complesso e aumenta la sua dimensione topologica (dimensione topologica è lo spazio necessario per disegnare il frattale)

• ha una definizione semplice e ricorsivo.

Gonze (2010) stabilisce che un frattale è generalmente "una forma grezza o frammentato geometrica che può essere suddiviso in più parti, ciascuna delle quali è (almeno approssimativamente) una copia ridotta dimensione all" (B. Mandelbrot). Questa proprietà viene chiamata auto-similarità. Il termine è stato coniato da Benoît Mandelbrot nel 1975 e deriva dal fractus latina che significa "rotto" o "fratturato".

Per Liebovitch e Shehadeh (2005: 179-180) gli oggetti nello spazio possono avere proprietà frattali. La serie storica può avere proprietà frattali. Le serie di numeri possono avere proprietà frattali. Gran parte delle statistiche con cui si mostrano familiare le proprietà dei dati "lineari". I frattali possono aiutare a descrivere alcune proprietà di dati "non lineari". La maggior parte dei dati è caratterizzato dalla deviazione media e standard, e 45,3 ± 0,3; per i dati che sono frattale, la media e la deviazione standard sono prive di significato. Questo implica un cambiamento significativo nel modo più semplice che vediamo e gestire i dati.

Gonze (2010) afferma che anche se sembrano simili a tutti i livelli di ingrandimento, è spesso considerato che i frattali sono infinitamente complesso (in termini informali). Gli oggetti naturali che sembrano frattali in misura sono le nuvole, montagne, fulmini, coste, e fiocchi di neve. Tuttavia, non tutti gli oggetti auto-similari sono frattali - per esempio, la linea reale (una linea retta euclidea) è formalmente auto-simile, ma non ha altre caratteristiche frattali (Gonze 2010: 8).

Huang e Cheng (s / f: 3) indicano che un frattale è un insieme la cui dimensione di Hausdorff Besicovitch supera rigorosamente la dimensione topologica (questa è una definizione molto astratta). In generale, un frattale è definita come una forma geometrica ruvida o frammentato che può essere suddiviso in più parti, ciascuna delle quali è (almeno approssimativamente) una copia di dimensioni ridotte del tutto. I frattali sono generalmente auto-simile e indipendente da scala.

Proprietà di oggetti nello spazio

Quando espandiamo un oggetto non-frattale, nuovi dettagli non vengono visualizzati. Ma quando estendiamo un oggetto frattale continuiamo a vedere pezzi sempre più piccoli. pezzi più piccoli sono copie dei pezzi più grandi. Non sono più piccole copie esatte, ma sono più piccoli, molto simile a pezzi più grandi repliche (Liebovitch 2005:.. P 183).

Un oggetto frattale ha maggior parte sono circa le stesse dimensioni. Un oggetto frattale ha pezzi di tutte le dimensioni diverse. La variazione delle dimensioni dei pezzi di oggetti frattali è molto maggiore della variazione nelle dimensioni dei pezzi di oggetti non frattale. (Leibovich, 2005: 184-185)

Auto-similarità. Piccole parti sono più piccoli dei pezzi copie più grandi. Scale. I valori misurati dipendono dalla risoluzione utilizzata per eseguire la misurazione. Statistiche. La dimensione "media" dipende dalla risoluzione utilizzata per la misurazione.

Un albero è frattale. Ha un paio di grossi rami, alcuni rami di medie dimensioni, e molti piccoli rami. Un albero è auto-simile, piccoli rami sono più piccoli rispetto ai grandi rami copie. C'è una scala di lunghezza e lo spessore di ciascun ramo dipende da ciò che si misura ramo. C'è una dimensione media di un ramo: maggiore è il numero di rami più piccoli che includono, minore è il "medium" lunghezza e spessore (Liebovitch, 2005: 187)

Il cielo modello ray è frattale. Ha un paio di grossi rami, alcuni rami di medie dimensioni, e molti piccoli rami. Il modello del fascio è auto-simile: piccoli rami sono più piccole delle più grandi rami copie. C'è una lunghezza di scala di ogni fascio di raggi dipende da ciò che si misura. C'è una dimensione media di fulmine: maggiore è il numero di raggi più piccoli che includono, minore è la lunghezza e lo spessore "medium" (Leibovitch; 2005: 188)

Secondo Gonze (2010) tradizionale geometria frattale è un'invenzione moderna basata su una dimensione caratteristica o scala, non esiste una descrizione specifica di formato o di scala per misurare. In geometria tradizionale, una formula come ad esempio x² + y² + z² = R² descrive una sfera; frattali in una semplice formula o algoritmo come Z_n + 1 = Z_n ² + z₀ descrive il frattale di Mandelbrot.

Un insieme di Julia è un'immagine speculare tipo dell'insieme di Mandelbrot. Si basa sulla stessa famiglia di base di funzioni f (x) = x² + c. Ma invece di variare c (come nel set Mandelbrot), rimane fisso e variano x c. L'insieme di Julia c è l'insieme dei valori di x per cui l'iterazione di f (x) non divergono. Ci sono un numero infinito di insiemi di Julia - una per ogni possibile valore di c.

Nella prossima puntata vi mostreremo le proprietà e gli algoritmi Insieme di Mandelbrot, Julia e altri in dettaglio.

Riferimenti

Liebovitch, Larry S.; Shehadeh Lina A. (2005) Introduction to Fractals, Chapter 5

Center for Complex Systems and Brain Sciences, Center for Molecular Biology and Biotechnology, & Departments of Psychology and Biomedical Sciences Florida Atlantic University

https://www.nsf.gov/sbe/bcs/pac/nmbs/chap5.pdf

Gonze Didier (2010) Fractals: theory and applications

Unité de Chronobiologie Théorique Service de Chimie Physique - CP 231 Université Libre de Bruxelles Belgium

http://homepages.ulb.ac.be/~dgonze/TEACHING/fractals.pdf

Chen Ting (Matric No. U017596H) Huang Liming (S/F)World of fractalas

http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/gem-projects/maa/World_of_Fractal.pdf

Caballero Roldan, Rafael (s/f) Caos y fractales

http://gpd.sip.ucm.es/rafa/docencia/md/fractales/fractal.pdf

Fractals, a Infinity beleza

Fractals faz o infinito no finito?

Olhando para a figura acima, um fractal, não podemos imediatamente localizar algo na natureza, por que não têm referências reais. O primeiro desafio é definir o fractal, uma entidade criada a partir de algoritmos matemáticos, usando computadores para milhares de cálculos necessários.

Às vezes, podemos encontrar a correspondência entre a natureza eo fractal, às vezes é impossível. Qual é a definição de um fractal?

Podemos usar definições vagas ou crípticos como:

• Um fractal é um auto-similar ou figura auto-similar,

• contendo cópias de si mesmo,

• gerado de forma recursiva,

• tem uma estrutura clara arbitrariamente pequenas escalas,

• é tão irregular que é difícil de descrever em termos de linguagem da geometria euclidiana,

• tem uma dimensão que não é todo e está aumentando a sua dimensão topológica (dimensão topológica é o espaço necessário para desenhar o fractal)

• tem uma definição simples e recursiva.

Gonze (2010) afirma que é geralmente um fractal "uma forma geométrica áspera ou fragmentada que pode ser subdividida em duas partes, cada uma das quais é (pelo menos aproximadamente) uma cópia de tamanho reduzido tudo" (B. Mandelbrot). Esta propriedade é chamada auto-similaridade. O termo foi cunhado por Benoît Mandelbrot em 1975 e deriva do latim fractus, que significa "quebrado" ou "fraturado".

Para Liebovitch e Shehadeh (2005: 179-180) objetos no espaço pode ter propriedades fractais. A série temporal pode ter propriedades fractais. Os conjuntos de números pode ter propriedades fractais. Grande parte das estatísticas com o qual está familiarizado mostra as propriedades de dados "lineares". Fractals pode ajudar a descrever algumas propriedades de dados "não-lineares". A maior parte dos dados é caracterizado por o desvio médio e padrão, e 45,3 ± 0,3; para os dados que são fractal, a média eo desvio-padrão são sem sentido. Isto implica uma mudança significativa na forma mais simples que ver e gerenciar os dados.

Gonze (2010) afirma que, embora eles parecem semelhantes em todos os níveis de ampliação, é muitas vezes considerado que os fractais são infinitamente complexo (em termos informais). objetos naturais que parecem fractais a um grau incluem nuvens, montanhas, relâmpago, litorais, e flocos de neve. No entanto, nem todos os objetos auto-similares são fractais - por exemplo, a linha real (uma linha euclidiana reta) é formalmente auto-similar, mas não tem outras características fractais (Gonze, 2010: 8).

Huang e Cheng (s / f: 3) indicam que um fractal é um conjunto cuja dimensão Hausdorff Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica (esta é uma definição muito abstrata). Em geral, um fractal é definido como uma forma geométrica áspera ou fragmentada que pode ser subdividida em duas partes, cada uma das quais é (pelo menos aproximadamente) uma cópia de tamanho reduzido do conjunto. Fractals são geralmente auto-similares e independente da escala.

Propriedades de objetos no espaço

Quando expandir um objeto não-fractal, novos detalhes não aparecem. Mas quando estendemos um objeto fractal continuamos a ver pedaços cada vez menores. pedaços menores são cópias das peças maiores. Eles não são cópias exactas menor, mas são menores muito semelhante à que se pedaços maiores réplicas (Liebovitch, 2005:.. P 183).

Um objecto fractal tem a maioria das peças são de aproximadamente o mesmo tamanho. Um objeto fractal tem peças de todos os tamanhos diferentes. A variação no tamanho dos pedaços de objectos fractal é muito maior do que a variação do tamanho dos pedaços de objectos não fractal. (Leibovich, 2005: 184-185)

Auto-similaridade. As peças pequenas são menores do que os pedaços maiores de cópias. Escala. Os valores medidos variam consoante a resolução usada para fazer a medição. Estatísticas. O tamanho "média" depende da resolução usada para a medição.

Uma árvore é fractal. Tem alguns grandes ramos, alguns ramos de tamanho médio, e muitos pequenos ramos. Uma árvore é auto-similar, pequenos ramos são menores do que os maiores ramos cópias. Há uma escala de comprimento e espessura de cada ramo depende do que ramo medimos. Há um tamanho médio de um ramo: Quanto maior for o número de ramos mais pequenos que incluem, quanto menor for a "forma" comprimento e espessura (Liebovitch, 2005: 187)

O padrão ray no céu é fractal. Tem alguns grandes ramos, alguns ramos de tamanho médio, e muitos pequenos ramos. O padrão de feixe é auto-similar: Pequenos galhos são menores do que os maiores ramos cópias. Há uma escala de comprimento de cada feixe de raios depende do que podemos medir. Há um tamanho médio de relâmpago: Quanto maior for o número de feixes de pequenos que incluem, quanto menor for o comprimento e a espessura "meio" (Leibovitch; 2005: 188)

De acordo Gonze (2010) geometria fractal tradicional é uma invenção moderna baseada em um tamanho característico ou escala, ainda não há descrição específica de tamanho ou escala para medir. Na geometria tradicional, uma fórmula, como x² + y² + z² = R² descreve uma esfera; fractais em uma fórmula simples ou algoritmo como Z_n + 1 = Z_n ² + z₀ descreve o fractal Mandelbrot.

Um conjunto de Julia é uma imagem espelhada tipo de conjunto de Mandelbrot. Ele baseia-se na mesma família de base de (x) as funções f = x² + C. Mas, em vez de variar C (tal como no conjunto de Mandelbrot), que permanece fixo e varia x C. O conjunto de Julia C é o conjunto de valores de x para o qual a iteração de f (x) não divergem. Há um número infinito de conjuntos de Julia - um para cada possível valor de c.

No próximo capítulo, vamos mostrar as propriedades e algoritmos conjuntos Mandelbrot, Julia e outros em detalhes.

Referências

Liebovitch, Larry S.; Shehadeh Lina A. (2005) Introduction to Fractals, Chapter 5

Center for Complex Systems and Brain Sciences, Center for Molecular Biology and Biotechnology, & Departments of Psychology and Biomedical Sciences Florida Atlantic University

https://www.nsf.gov/sbe/bcs/pac/nmbs/chap5.pdf

Gonze Didier (2010) Fractals: theory and applications

Unité de Chronobiologie Théorique Service de Chimie Physique - CP 231 Université Libre de Bruxelles Belgium

http://homepages.ulb.ac.be/~dgonze/TEACHING/fractals.pdf

Chen Ting (Matric No. U017596H) Huang Liming (S/F)World of fractalas

http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/gem-projects/maa/World_of_Fractal.pdf

Caballero Roldan, Rafael (s/f) Caos y fractales

http://gpd.sip.ucm.es/rafa/docencia/md/fractales/fractal.pdf

Fractals, beauty of Infinity

Fractals does the infinite within the finite?

Looking at the figure above, a fractal, we can not immediately locate something in nature, why we not have real references. The first challenge is to define the fractal, an entity created from mathematical algorithms, using computers for thousands of calculations required.

Sometimes we can find correspondence between nature and the fractal, it is sometimes impossible. What is the definition of a fractal?

We may use vague or cryptic definitions as:

• A fractal is a self-similar or self-similar figure,

• containing copies of itself,

• generated recursively,

• having a clear structure at arbitrarily small scales,

• is so irregular that it is difficult to describe in terms of language of Euclidean geometry,

• it has a dimension that is not whole and is increasing its topological dimension (topological dimension is the space required to draw the fractal)

• has a simple and recursive definition.

Gonze (2010) states that a fractal is generally "a rough or fragmented geometric shape that can be subdivided into parts, each of which is (at least approximately) a reduced size copy all" (B. Mandelbrot). This property is called self-similarity. The term was coined by Benoît Mandelbrot in 1975 and derives from the Latin fractus meaning "broken" or "fractured".

To Liebovitch and Shehadeh (2005: 179-180) objects in space can have fractal properties. The time series can have fractal properties. The sets of numbers can have fractal properties. Much of the statistics with which you are familiar show the "linear" data properties. Fractals can help describe some "non-linear" data properties. Most of the data are  characterized by the mean and standard deviation, and 45.3 ± 0.3; for data that are fractal, the mean and standard deviations are meaningless. This implies a significant change in the simplest way we see and manage the data.

Gonze (2010) states that although they appear similar at all levels of magnification, is often considered that fractals are infinitely complex (in informal terms). Natural objects that seem fractals to a degree include clouds, mountains, lightning, coastlines, and snowflakes. However, not all self-similar objects are fractals - for example, the real line (a straight Euclidean line) is formally self-similar but does not have other fractal characteristics (Gonze, 2010: 8).

Huang and Cheng (s / f: 3) indicate that a fractal is a set whose Hausdorff Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension (this is a very abstract definition). In general, a fractal is defined as a rough or fragmented geometric shape that can be subdivided into parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole. Fractals are generally self-similar and independent of scale.

Properties of objects in space

When we expand a non-fractal object, new details do not appear. But when we extend a fractal object we continue to see smaller and smaller pieces. Smaller pieces are copies of the larger pieces. They are not exact copies smaller, but are smaller very similar to the larger pieces replicas (Leibovitch, 2005: p. 183).

A fractal object has most parts are approximately the same size. A fractal object has pieces of all different sizes. The variation in the size of the pieces of fractal objects is much greater than the variation in the size of the pieces of non-fractal objects. (Leibovich, 2005: 184-185)

Self-similarity. Small parts are smaller than the larger pieces copies. Scale. The measured values ​​depend on the resolution used to make the measurement

. Statistics. The "average" size depends on the resolution used for the measurement.

A tree is fractal. Has a few large branches, some branches of medium size, and many small branches. A tree is self-similar, small branches are smaller than the largest branches copies. There is a scale length and thickness of each branch depends on what branch we measure. There is an average size of a branch: The higher the number of smaller branches that include, the lower the "medium" length and thickness (Liebovitch, 2005: 187)

The pattern ray in sky is fractal. Has a few large branches, some branches of medium size, and many small branches. The beam pattern is self-similar: Small branches are smaller than the largest branches copies. There is a scale length of each ray beam depends on what we measure. There is an average size of lightning: The higher the number of smaller beams that include, the lower the "medium" length and thickness (Leibovitch; 2005: 188)

According Gonze (2010) traditional fractal geometry is a modern invention based on a characteristic size or scale, there is no specific description of size or scale to measure. In traditional geometry, a formula such as x² + y² + z² = R² describes a sphere; fractals in a simple formula or algorithm as Z_n + 1 = Z_n ² + z₀ describes the Mandelbrot fractal.

A set of Julia is a kind mirror image of the Mandelbrot set. It is based on the same basic family of functions f (x) = x² + c. But instead of varying c (as in the Mandelbrot set), it remains fixed and vary x c. The set of Julia c is the set of values ​​of x for which the iteration of  f(x) does not diverge. There are an infinite number of Julia sets - one for each possible value of c.

In the next installment we will show the properties and algorithms from  Mandelbrot sets, Julia and others in detail.

References

Liebovitch, Larry S.; Shehadeh Lina A. (2005) Introduction to Fractals, Chapter 5

Center for Complex Systems and Brain Sciences, Center for Molecular Biology and Biotechnology, & Departments of Psychology and Biomedical Sciences Florida Atlantic University

https://www.nsf.gov/sbe/bcs/pac/nmbs/chap5.pdf

Gonze Didier (2010) Fractals: theory and applications

Unité de Chronobiologie Théorique Service de Chimie Physique - CP 231 Université Libre de Bruxelles Belgium

http://homepages.ulb.ac.be/~dgonze/TEACHING/fractals.pdf

Chen Ting (Matric No. U017596H) Huang Liming (S/F)World of fractalas

http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/gem-projects/maa/World_of_Fractal.pdf

Caballero Roldan, Rafael (s/f) Caos y fractales

http://gpd.sip.ucm.es/rafa/docencia/md/fractales/fractal.pdf

Fractales, la belleza del infinito

Fractales  ¿el infinito dentro de lo finito?

Al observar la figura anterior, un fractal, no podemos ubicar inmediatamente algo dela naturaleza pues aunque lo parezca,  no tenemos referencias  reales. El primer  desafío  es definir al fractal, una entidad creada a partir de algoritmos matemáticas, usando computadoras para los miles de cálculos necesarios.

A veces podemos encontrar  correspondencia entre la naturaleza y el fractal, a veces es imposible. ¿Cuál es la definición de un fractal?

Podemos usar definiciones  imprecisas o crípticas  como:  

·        Un fractal es una figura auto-semejante o auto similar,  

·        que contiene copias de sí misma,

·        generadas de forma recursiva,

·        que tiene una estructura nítida a escalas arbitrariamente pequeñas,

·   es tan irregular que es difícil describirla en términos del lenguaje de la geometría euclidiana,

·        tiene una dimensión que no es entera y es la vez  mayor que su dimensión topológica (Dimensión topológica es la requerida  en el espacio para dibujar el fractal),

·        tiene una definición recursiva y sencilla.  

Gonze (2010) dice que un fractal es generalmente "una forma geométrica áspera o fragmentada que se puede subdividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia de tamaño reducido de la totalidad" (B. Mandelbrot). Esta propiedad se llama auto-similitud. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus que significa "roto" o "fracturado".

Para Liebovitch y Shehadeh (2005: 179-180) los objetos en el espacio pueden tener propiedades fractales. Las series de tiempo pueden tener propiedades fractales. Los conjuntos de números pueden tener propiedades fractales. Gran parte de las estadísticas con las que usted  está familiarizado muestran  las propiedades "lineales" de datos.  Los Fractales pueden ayudar a describir algunas propiedades "no lineales" de datos. La mayoría de los datos se caracterizan por la media y la desviación estándar, como 45,3 ± 0,3; para datos que son fractales, la media y las desviaciones estándar no tienen sentido. Esto implica un cambio significativo en la forma más sencilla como vemos y manejamos los datos.

Gonze (2010) afirma que aunque parecen similares en todos los niveles de ampliación, se considera a menudo que los fractales son infinitamente complejos (en términos informales). Los objetos naturales que hasta cierto grado parecen  fractales incluyen nubes, montañas, rayos, líneas de costa, y copos de nieve. Sin embargo, no todos los objetos auto-similares son fractales - por ejemplo, la recta real (una línea recta euclidiana) es formalmente auto-similar, pero no tiene las demás  características fractales (Gonze, 2010: 8).

Huang y Cheng (s / f: 3) señalan que un fractal es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff Besicovitch excede estrictamente la dimensión topológica (esta es una definición muy abstracta). En general, un fractal se define como una forma geométrica áspera o fragmentada que se puede subdividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia de tamaño reducido de la totalidad. Los fractales son generalmente auto-similar e independientes de la escala.

Propiedades de los objetos en el espacio

Cuando ampliamos un objeto no fractal, no aparecen nuevos detalles. Pero, cuando  ampliamos un objeto fractal seguimos viendo trozos cada vez más pequeños. Las piezas más pequeñas son copias de las piezas más grandes. Ellos no son copias exactas más pequeñas, pero son réplicas más pequeñas muy similares a las piezas más grandes (Liebovitch., 2005: Pág. 183).

Un objeto fractal  tiene la mayoría de las piezas que son aproximadamente del mismo tamaño. Un objeto fractal tiene piezas de todos los tamaños diferentes. La variación en el tamaño de las piezas de los objetos fractales es mucho mayor que la variación en el tamaño de las piezas de los objetos no fractales. (Leibovitch, 2005: 184-185)

Auto-similaridad. Las pequeñas piezas son copias más pequeñas de las piezas más grandes. Escala. Los valores medidos dependen de la resolución utilizada para hacer la medición. Estadística. El tamaño "promedio" depende de la resolución que se utiliza para hacer la medición.

Un árbol es fractal. Tiene unas pocas ramas grandes, algunas ramas de tamaño medio, y muchas pequeñas ramas. Un árbol es auto-similar, las pequeñas ramas son copias más pequeñas de las ramas más grandes. Hay una escala: La longitud y el grosor de cada rama depende de qué rama medimos. No hay un tamaño promedio de una rama: Cuanto mayor sea el número de ramas más pequeñas que incluyen, menor es la longitud "media" y el espesor (Liebovitch, 2005: 187)

El patrón de rayos en el cielo es fractal. Tiene unas pocas ramas grandes, algunas ramas de tamaño medio, y muchas pequeñas ramas. El patrón del rayo es auto-similar: Las pequeñas ramas son copias más pequeñas de las ramas más grandes. Hay una escala: La longitud de cada rayo depende de qué rayo medimos. No hay un tamaño promedio de un rayo: Cuanto mayor sea el número de rayos más pequeñas que incluyen, menor es la longitud "media" y espesor (Leibovitch; 2005: 188)

Según Gonze (2010) la geometría fractal tradicional es una invención moderna basada en un tamaño característico o escalar,  no existe una descripción específica de tamaño o escala a medida. En la geometría  tradicional, una formula como   x² + y² + z² = R² describe una esfera; en los fractales, una fórmula general sencillo o algoritmo como  Z_n + 1 = Z_n  ² + z₀ describe el fractal de Mandelbrot.

Un conjunto de Julia es una especie imagen especular del conjunto de Mandelbrot. SE basa en la misma familia básica de las funciones: f (x) = x² + c. Pero en lugar de variar c (como en el  conjunto de Mandelbrot), se mantiene fijo c y variar x. El conjunto de Julia de c es el conjunto de valores de x para los que la iteración de f(x)  no diverge. Hay un número infinito de conjuntos de Julia - una para cada posible valor de c.

En próximas entregas mostraremos las propiedades y algoritmos delos conjuntos de Mandelbrot, Julia y otros, en detalle.

Referencias

Liebovitch, Larry S.; Shehadeh Lina A. (2005) Introduction to Fractals, Chapter 5

Center for Complex Systems and Brain Sciences, Center for Molecular Biology and Biotechnology, & Departments of Psychology and Biomedical Sciences Florida Atlantic University

https://www.nsf.gov/sbe/bcs/pac/nmbs/chap5.pdf

Gonze Didier (2010) Fractals: theory and applications

Unité de Chronobiologie Théorique Service de Chimie Physique - CP 231 Université Libre de Bruxelles Belgium

http://homepages.ulb.ac.be/~dgonze/TEACHING/fractals.pdf

Chen Ting (Matric No. U017596H) Huang Liming (S/F)World of fractalas

http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/gem-projects/maa/World_of_Fractal.pdf

Caballero Roldan, Rafael (s/f) Caos y fractales

http://gpd.sip.ucm.es/rafa/docencia/md/fractales/fractal.pdf